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Problema de Basilea

El problema de Basilea pide el valor exacto de la suma

 


Explicación

Comenzamos con la serie para el seno y la dividimos por x para que

Los ceros de esta función son múltiplos enteros de π, así que los puntos x = n · π para n = ±1,  ±2,  ±3, ... . El teorema de factorización entonces produce

lo que puede convertir a

El cálculo de esto ya muestra un patrón claro

Sólo continuamos con los coeficientes de x2 y calculamos para ello

En la serie original vemos que el coeficiente de x2 es igual a

y así

por lo que

 


Información adicional

El primer cálculo de este problema de 1644 fue dado por Leonhard Euler en 1735.

 


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