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Problème de Bâle

Le problème de Bâle demande la valeur exacte de la somme

 


Explication

Nous commençons par le développement limité du sinus et la divisons par x pour que

Les zéros de cette fonction sont des multiples entiers de π, donc les points x = n · π pour n = ±1,  ±2,  ±3, ... . Le théorème de factorisation donne alors

ce que vous pouvez convertir en

Le calcul montre une tendance claire

Nous continuons seulement avec les coefficients de x2 et calculons à cette fin

Dans la série originale nous voyons que le coefficient de x2 est égal à

et donc

alors

 


Information additionelle

Le premier calcul de ce problème de 1644 a été donné par Leonhard Euler en 1735.

 


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