Maeckes logo

<    1      2      3      4    >


Cantor stof

Cantor stof bestaat uit alle reële getallen in het eenheidsinterval die niet het cijfer 1 in hun trinitaire notatie hebben.

 


Uitleg

De eindpunten zijn weergegeven in basis 3 notatie.

03 0,013 0,023 0,13 0,23 0,213 0,223 13
Stap 0
Stap 1
Stap 2
Stap 3
Stap 4
Stap 5

 


Eindpunten

De eindpunten worden nooit verwijderd. Omdat we in elke stap een eindig aantal intervallen verwijderen en het aantal stappen aftelbaar is, is de verzameling van eindpunten ook aftelbaar oneindig.

 


Intervallen

In stap 1 verwijderen we de getallen tussen 0,13 and 0,23. Omdat 0,13 hetzelfde is als 0,0222…3 verwijderen we alle getallen met een 1 in de eerste plaats achter de komma.

In stap 2 verwijderen we de getallen tussen 0,013 and 0,023 en de getallen tussen 0,213 and 0,223. Omdat 0,013 hetzelfde is als 0,00222…3 en 0,213 hetzelfde als 0,20222...3 verwijderen we alle getallen met een 1 in de tweede plaats achter de komma.

In stap 3 verwijderen we alle getallen met een 1 in de derde plaats achter de komma, en zo voorts.

Bij de getallen die overblijven bestaan de cijfers achter de komma alleen uit 0-en en 2-en.

 


Kardinaliteit

Als we in de resterende getallen de 2-en door 1-en vervangen, krijgen we precies alle getallen van de binaire decimale weergave. De verzameling van deze getallen is overaftelbaar oneindig.

De Cantor-verzameling heeft daarom dezelfde kardinaliteit als het interval [0,1] en dus als de verzameling van de reële getallen.

 


Conclusie

Als we alle intervallen verwijderen wordt het aantal resterende punten niet minder dan het aantal punten waar we mee begonnen. Dat is toch verbazingwekkend.

 


Deutsch   English   Español   Français   中文