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组合

在不注意顺序的情况下,从一组 n元素中选择 r元素的组合数,可以写成

nCr       或       nCr       或       C(n, r)       或       

并改为 "from n Choose r"。

 


解释

它等于

也可以写成

 


例1

我们拿字母 ABCD 开始玩。让我们看看你能用这 4 个字母创造多少种不同的 2 个字母组合。如果字母的顺序没有作用,我们就有 6 个组合

AB = BA
AC = CA
AD = DA
BC = CB
BD = DB
CD = DC

我们称之为'从 42',并计算出

我们继续,在 4 个字母中寻找 3 个字母的组合。由于字母的顺序没有作用,我们有 4 个组合

ABC = ACB = BAC = BCA = CAB = CBA
ABD = ADB = BAD = BDA = DAB = DBA
ACD = ADC = CAD = CDA = DAC = DCA
BCD = BDC = CBD = CDB = DBC = DCB

我们称之为'从 43',并计算出

如果我们把所有 4 个字母都拿出来,就只剩下 1 个组合了

ABCD = DCBA … 以此类推

我们称其为'从 44',并计算出也是

根据定义确定,0! ≝ 1,这对我们这里有帮助。为了完整,我们还取 1个字母,得到 4 个组合

A
B
C
D

我们称之为'从 41',计算为

如果我们不取字母全部,我们称之为'从 40',并计算出

我们为什么要这样做,现在还不清楚,但这个公式可以处理。有一点我们还没有看清楚。考虑一下我们遇到的计算方法

他们代表了

这真是太神奇了。先是数字增加,然后又减少。如果你看一下公式分母中的两个因素,那是符合逻辑的。如果第一个因子增加,第二个因子就会相应减少。你可以很容易地看到,在一般适用

,   ,   和   

我们现在检查一个特殊的情况,其中 n 趋向于无穷大

分数中,分子分母它处理的是 "同一个无限大",那就消失了。所以它都是很稳健的。

 


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