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Kombinationen

Die Anzahl Kombinationen, wobei r Elemente aus einer Menge von n Elementen gewählt werden, ohne auf einer Reihenfolge zu achten, kann man schreiben als

nCr       oder       nCr       oder       C(n, r)       oder       

und heisst auf englisch 'from n Choose r'.

 


Erläuterung

Man sagt 6 über 3, oder 3 nach 1. Das ist nicht so genau festgelegt. Es wird berechnet mit

was man schreiben kann als

 


Beispiel 1

Um es besser zu verstehen nehmen wir die Buchstaben ABCD und machen ein Spielchen. Sehen wir uns zuerst mal an wie viel verschiedene Kombinationen von 2 Buchstaben erzeugt werden können mit diesen 4 Buchstaben. Wenn die Reihenfolge der Buchstaben keine Rolle spielen, bleiben 6 Kombinationen übrig

AB = BA
AC = CA
AD = DA
BC = CB
BD = DB
CD = DC

Das heisst die Anzahl Kombinationen von 2 aus 4, und berechnen die

Wir machen weiter, und suchen die Anzahl Kombinationen von 3 aus 4. Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt bleiben nur 4 Kombinationen übrig

ABC = ACB = BAC = BCA = CAB = CBA
ABD = ADB = BAD = BDA = DAB = DBA
ACD = ADC = CAD = CDA = DAC = DCA
BCD = BDC = CBD = CDB = DBC = DCB

Das heisst die Anzahl Kombinationen von 3 aus 4, und berechnen die ebenfalls

Wenn du alle 4 Buchstaben nimmst, und die Reihenfolge spielt keine Rolle, dann bleibt nur 1 Kombination übrig

ABCD = DCBA ... und so weiter

Das heisst die Anzahl Kombinationen von 4 aus 4, und berechnen die ebenfalls

Per Definition ist bestimmt, dass 0! ≝ 1, und das können wir jetzt gut gebrauchen. Mathematiker sind doch pfiffige Leute. Um ganz sicher zu gehen untersuchen wir auch mal was passiert, wenn wir nur 1 Buchstabe nehmen. Hier gilt keine Reihenfolge, deswegen gibt es auch 4 Kombinationen

A
B
C
D

Das heisst die Anzahl Kombinationen von 1 aus 4, und berechnen die natürlich auch

Als letztes prüfen wir was mit unserer Formel passiert wenn wir kein einziger Buchstabe auswählen. Wir rechnen einfach weiter

Das heisst die Anzahl Kombinationen von 0 aus 4 (wenn du das so nennen willst). Was uns das bringt wissen wir nicht, aber die Formel hat damit keine Probleme. Eine Sache haben wir uns noch nicht angesehen. Sehe dir die ganze Berechnungen die wir so ausgeführt haben noch mal an. Es waren fünf Stück

Die ergaben

Das ist lustig. Zuerst nehmen die Zahlen zu, und dann nehmen Sie wieder ab. Und auch hier ist das eigentlich ziemlich logisch, wenn du dir die beiden Teile im Nenner der Formel genau ansiehst. Wenn der erste Teil zunimmt, verringert sich der zweite Teil entsprechend. Du kannst leicht feststellen, dass allgemein gilt

,   , en

Jetzt wollen wir es auch genau wissen. Darum überprüfen wir zuletzt noch einen Spezialfall, wobei n sogar unendlich gross werden kann

Bei der Division handelt es sich im Zähler und Nenner um den "gleichen unendlichen Wert", und die verschwindet sogar. Es ist alles sehr robust.

 


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