Maeckes logo

<    1      2      3      4      5      6    >


Combinaties

Het aantal combinaties om r elementen uit een verzameling van n elementen te kiezen, zonder op de volgorde te letten, kun je schrijven als

nCr       of       nCr       of       C(n, r)       of       

en heet in het engels 'from n Choose r'.

 


Uitleg

Je spreekt het uit als 6 over 3, of 5 boven 2, of 3 naar 1. Dat is niet zo precies vastgelegd. Het is gelijk aan

wat je kunt schrijven als

 


Voorbeeld 1

We nemen de letters ABCD en gaan hier mee spelen. Laten we eens kijken hoeveel verschillende combinaties van 2 letters je kunt maken met deze 4 letters. Als de volgorde van de letters geen rol speelt houden we 6 combinaties over

AB = BA
AC = CA
AD = DA
BC = CB
BD = DB
CD = DC

Dit noemen we het aantal combinaties van 2 uit 4, en berekenen die

We gaan hiermee nog even door, en zoeken het aantal combinaties van 3 uit 4. Als de volgorde van de letters geen rol speelt houden we nog maar 4 combinaties over

ABC = ACB = BAC = BCA = CAB = CBA
ABD = ADB = BAD = BDA = DAB = DBA
ACD = ADC = CAD = CDA = DAC = DCA
BCD = BDC = CBD = CDB = DBC = DCB

Dit noemen we het aantal combinaties van 3 uit 4, en berekenen die eveneens

Als je alle 4 letters neemt, en de volgorde speelt geen rol, dan zijn alle 24 variaties aan elkaar gelijk, en blijft er slechts 1 combinatie over

ABCD = DCBA … en zo voorts

Dit noemen we het aantal combinaties van 4 uit 4, en berekenen die ook

Het is per definitie bepaald dat 0! ≝ 1, en dat komt ons nu goed van pas. Voor de volledigheid kijken we ook nog even wat er gebeurt als we maar 1 letter nemen. Hier is geen sprake van een volgorde, dus er zijn echt 4 combinaties

A
B
C
D

Dit noemen we het aantal combinaties van 1 uit 4, en we berekenen die ook

Voor de volledigheid kijken we ook nog even wat er met onze formule gebeurt als we geen enkele letter nemen. We gaan toch maar even rekenen

Dit noemen we het aantal combinaties van 0 uit 4 (als je dat zo wilt noemen). Wat we daar mee opschieten is ons nu niet duidelijk, maar de formule kan er tegen. Toch hebben we één verschijnsel nog niet bekeken. Kijk nog eens goed naar de berekeningen die we onderweg tegen kwamen

Ze stonden voor

Dat is toch frappant. Eerst lopen de getallen op, en dan lopen ze weer af. En ook hier is het weer logisch als je nauwkeurig naar de twee factoren in de noemer van de formule kijkt. Als de eerste factor toeneemt, neemt de tweede factor navenant af. Je kunt eenvoudig vaststellen dat algemeen geldt

,   ,   en   

Nu willen we het ook echt weten. Daarom controleren we als laatste nog een speciaal geval, waarbij n zelfs oneindig mag benaderen

Bij de breuk gaat het in de teller en de noemer om "hetzelfde oneindig", en die verdwijnt gelukkig. Het zit dus ijzersterk in elkaar.

 


Deutsch   English   Español   Français