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格蘭迪級數

无限葛兰迪系列没有解法

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ··· = ?

怎么会出现这种情况呢?

 


例1

反切线的第一个导数为

反切线的序列是

并对其进行导数,得到

所以我们写下方程

由此可见

如果我们不介意细节的话,我们会发现

          

我们最好仔细检查一下。让 x = 0,你得到

          

当然是不正确的。现在我们取 x = 1,所以我们看到的是

          

这也是错误的。如果我们将 x = 0 代入原方程,我们发现

这是正确的。我们忘记了细节,我们只写了 0,而不是 1 + 1 – 1 + 1 – 1 ···  ,虽然这是未定义的。这就造成了麻烦。作为最后的检查,我们在原方程中代入 x = 1

         

而这是不正确的。显然我们在一开始就已经犯了一个错误。是这样的,因为序列vor的反切线只对 x | < 1 有效。

 


附加信息

意大利数学家吉多-格兰迪(Guido Grandi)在 1703 年写下了这个系列。

 


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