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1 − 1 + 1 − 1 + ···

Für die unendliche Reihe

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ··· = ?

gibt es keine Lösung. Aber wie kann so etwas überhaupt entstehen?

 


Beispiel 1

Die erste Ableitung vom inversen Tangens ist

Die Reihe für den inversen Tangens ist

und die Ableitung davon wird

und deswegen gilt die Gleichung

Hieraus folgt

und wenn wir uns an nichts stören finden wir sogar

          

Das wollen wir vorsichtshalber mal nachprüfen. Mit x = 0 ergibt es dann

          

und das stimmt natürlich nicht. Jetzt mal mit x = 1, dann sieht man

          

und das stimmt auch nicht. Wenn man in die ursprüngliche Gleichung x = 0 ausfüllt ergibt das

und das ist richtig. Wir haben uns nicht stören lassen, und schrieben statt 1 + 1 – 1 + 1 – 1 ···  ohne weiteres 0, obschon dies unbestimmt ist. Das wurde uns fatal. Als letztes füllen wir in die ursprügliche Formel auch mal x = 1 aus

         

und das ist nicht korrekt. Wir müssen schon vorher einen Fehler gemacht haben. Und das haben wir auch, denn die Reihe für den inversen Tangens gilt nur für x | < 1.

 


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