Maeckes logo

<    1      2      3      4    >


Grandi-reeks

Voor de oneindige Grandi-reeks

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ··· = ?

bestaat geen oplossing. Maar hoe ontstaat zoiets nu?

 


Voorbeeld 1

De eerste afgeleide van de inverse tangens is

De reeks voor de inverse tangens is

en de afgeleide daarvan wordt

dus geldt de vergelijking

Hieruit volgt

en als we ons nergens aan storen vinden we zelfs

          

Laten we dit eens voorzichtig controleren. Voor x = 0 krijg je dan

          

en dat klopt natuurlijk niet. Nu eens met x = 1, dan zie je

          

en dat klopt ook niet. Als je in de oorspronkelijke vergelijking x = 0 invult levert dat

en dat is wel juist. Wij lieten ons nergens door storen, en vervingen 1 + 1 – 1 + 1 – 1 ··· zonder meer door 0, ofschoon dit onbepaald is. Dat bleef niet ongestraft. Voor de volledigheid vullen we in de oorspronkelijke formule ook nog eens x = 1 in

         

en dat is niet juist. We hebben dus nog een fout gemaakt. Dat hebben we ook, want de reeks voor de inverse tangens is alleen geldig voor x | < 1.

 


Extra informatie

De Italiaanse wiskundige Guido Grandi schreef over deze reeks in 1703.

 


Deutsch   English   Español   Français