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Einheitskreis

In der komplexen Ebene kann man einen Einheitskreis (Kreisgruppe) zeichnen.

 


Eulerformel

Alle Punkte auf diesem Kreis entsprechen der Eulerformel

e = cos φ + i sin φ

und diese ergeben darum die im Argand-Diagramm angegebenen Punkte.

  

Ausfüllen von φ in der Formel gibt die Werte

 


Zahlenkreis

Man kann den komplexen Einheitskreis in den Zahlenkreis aufnehmen. Damit kann man die Kohärenz von natürlichen Zahlen und komplexen Zahlen darstellen. Der innere Rand bildet ein Quadrat, das mit der Zahl 1 beginnt und sich bis zur Zahl 24 fortsetzt.

21 22 23 24 1 2 3
20         4
19   i     5
18 i2 0 i2   6
17 i     7
16           8
15 14 13 12 11 10 9

Die imaginären Zahlen i und i liegen auf dem Einheitskreis. Da i2 = −1 und i2 = +1 ist, kommt die Zahl 1 zweimal im Zahlenkreis vor.

 


Imaginäre Einheit

Die imaginäire Einheit kann man als Basis einer exponentiellen Funktion nehmen. Für die Potenzen folgt, in Uhrzeigersinn (englisch: clockwise)

i 0 = 1,       i 1 = i,       i 2 = –1,     i 3 = –i
i 4 = 1,       i 5 = i,       i 6 = –1,     i 7 = –i

oder in der anderen Richtung (englisch: anti-clockwise)

i 0  = 1,     i –1 = –i,     i –2 = –1,    i –3 =  i
i –4 = 1,     i –5 = –i,     i –6 = –1,   i –7 =  i

Das Argand-Diagramm zeigt die Werte 1, i, –1 und –i auf den angegebenen Punkten.

 


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