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Cercle unité

Dans le plan complexe, on peut dessiner un cercle unité.

 


Formule d'Euler

Tous les points sur ce cercle répondent à la formule d'Euler

e = cos φ + i sin φ

et forment les points indiqué dans le diagramme d'Argand.

  

Substitution de φ dans la formule donne les valeurs

 


Cercle des nombres

On peut installer le cercle unité complexe dans le cercle des nombres. Cela vous permet de montrer la cohérence des entiers naturels et des nombres complexes. Le bord interne est un carré qui commence avec 1 et continue jusqu'au 24.

21 22 23 24 1 2 3
20         4
19   i     5
18 i2 0 i2   6
17 i     7
16           8
15 14 13 12 11 10 9

Les nombres imaginaires i et i sont sur le cercle unité. Parce que i2 = −1 et i2 = +1 le nombre 1 est deux fois sur le cercle des nombres.

 


Unité imaginaire

On peut utiliser l'unité imaginaire comme base d'une fonction exponentielle. Pour les puissances suit, dans le sens horaire (anglais: clockwise)

i 0 = 1,       i 1 = i,       i 2 = –1,     i 3 = –i
i 4 = 1,       i 5 = i,       i 6 = –1,     i 7 = –i

ou dans le sens anti-horaire (anglais: counter-clockwise)

i 0  = 1,      i –1 = –i,     i –2 = –1,    i –3 =  i
i –4 = 1,     i –5 = –i,     i –6 = –1,     i –7 =  i

Le diagramme d'Argand montre les valeurs 1, i, –1 et –i aux points indiqués.

 


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