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Genau 1

Eine unendliche Reihe kann eine Zahl genau ausdrücken, so wie

 


Erläuterung

Auch ohne zu rechnen können wir feststellen, dass das Ergebnis nicht grösser als 1 werden kann. Denn wir addieren immer nur die Hälfte der vorherigen Terme wieder dazu. Aber ist das Ergebnis nun wirklich genau 1, oder ist es doch etwas kleiner als 1, und nähert es sich nur 1?
Du kannst etwas verdoppeln, und den ursprünglichen Wert davon subtrahieren. Dann erhältst du den Originalwert wieder, denn

2 Birnen − 1 Birne = 1 Birne

So machst du es auch mit der unendlichen Reihe, also

dann gibt das

und das ist wiederum

Aber guck mal genau hin. Hier ist eine Terme verschwunden, und zwar die . Wird da nun also doch heimlich Hokuspokus betrieben? Gehen wir die Sache mal von der anderen Seite an und schreiben

Auch hier addieren wir immer die Hälfte der vorherigen Terme wieder dazu. Jetzt sind wir uns sicher, dass die 1 stimmt, denn das war unserer Ausgangswert. Die Formel kann man von links nach rechts und von rechts nach links lesen, also stimmt unsere Berechnung, und

 


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