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Exactement 1

Une série infinie peut exprimer un nombre exactement, comme

 


Explication

Sans faire un calcul, nous pouvons voir que le résultat ne doit pas dépasser 1. Nous ajoutons chaque fois que la moitié de la terme précédente. Mais est ce que le résultat est vraiment exactement 1, ou juste un peu plus petit que 1 et s’approche seulement 1 ?
On peut doubler quelque chose, et le soustraire immédiatement encore. La valeur originale sera alors obtenue, parce que

2 pommes − 1 pomme = 1 pomme

Appliquez cela à la série, ainsi

alors il donne

et c'est

Mais regardez maintenant. Un terme a disparu, car manque. Alors est-ce juste hocus pocus ? Nous allons jeter un coup d’oeil de l’autre côté et l’écrire comme

Ici, nous ajoutons également chaque fois que la moitié de la terme précédente. Maintenant, nous sommes sûrs que le numéro 1 est correct, parce que c’était notre valeur initiale. Vous pouvez lire cette formule de gauche à droite et de droite à gauche, donc notre calcul est correct, et

 


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