Maeckes logo

<    1      2      3      4    >


Exact 1

Een oneindige reeks kan een getal exact uitdrukken, zoals

De drie punten geven aan dat er oneindig veel termen volgen.

 


Uitleg

Ook zonder te rekenen kunnen we vaststellen dat het resultaat niet groter dan 1 kan worden. We tellen namelijk elke keer slechts de helft van de voorgaande term. Maar is het resultaat nu werkelijk exact 1, of toch iets kleiner en benadert het 1?
Je kunt iets verdubbelen, en het er meteen weer van af trekken. Dan krijg je de oorspronkelijke waarde terug, want

2 appels − 1 appel = 1 appel

Zo doe je het ook met de reeks, dus

dat levert op

en dat is weer

Maar kijk eens heel nauwkeurig. Hier is één term verdwenen, want ontbreekt. Is dit dus stiekem toch hocus pocus? Laten we eens van de andere kant naar deze berekening kijken, en schrijven

Ook hier tellen we steeds de helft van de voorgaande term er weer bij op. We zijn er nu zeker van dat de 1 juist is, want dat was onze beginwaarde. De formule kun je van links naar rechts en van rechts naar links lezen, dus onze berekening klopt, en

 


Noot

De reeks houdt niet ineens ergens op maar loopt altijd verder door.

 


Deutsch   English   Español   Français