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Extrapolation

Wenn wir die Folge 1, 2, 4, 8, 16, ... sehen vermuten wir, dass die nächste Zahl 32 sein wird, denn es handelt sich offensichtlich um 2er Potenzen.

Aber wie sicher ist das eigentlich?

 


Erläuterung

Die Formel könnte heißen

und die entsprechende Tabelle ergibt dann

n f(n)
1 1
2 2
3 4
4 8
5 16
6 32

Es gibt andere Möglichkeiten um die ursprüngliche Folge zu erweitern. So könnte zum Beispiel die Zahl 31 auch richtig sein. Dann brauchen wir allerdings eine andere Formel. Dazu benutzen wir hier

und nehmen für x nachfolgend die Werte 1, 2, 3, 4, 5 und 6. Die Tabelle wird dann

x f(x)
1 1
2 2
3 4
4 8
5 16
6 31

Das ist erstaunlich. Es sieht aus wie Hokuspokus. So eine Formel kann man doch nicht einfach erraten. Was steckt nun da hinter, und wo kommt die Formel her?

 


Berechnung

Aus dem Hauptsatz der Mathematik folgt, dass man eine Kurve, die durch 5 Punkte geht, mit einer Gleichung vierten Grades beschreiben kann. Deshalb beginnen wir mit

und nehmen für x nachfolgend die Werte 1, 2, 3, 4 und 5. Dann erhalten wir

a

b

c

d

e

=

1 1 1 1 1 1
16 8 4 2 1 2
81 27 9 3 1 4
256 64 16 4 1 8
625 125 25 5 1 16

Hierin eliminieren wir e, und erhalten

a

b

c

d

=

15 7 3 1 1
80 26 8 2 3
255 63 15 3 7
624 124 24 4 15

Jetzt eliminieren wir d, und erhalten

a

b

c

=

50 12 2 1
210 42 6 4
564 96 12 11

Dann eliminieren wir c, und erhalten

a

b

=

60 6 1
264 24 5

Zuletzt eliminieren wir b, und erhalten

a

=

24 1

Das bedeutet

und füllen das aus

Als nächstes finden wir

Dann kommt

Und zuletzt

Die Formel lautet dann

und das schreiben wir hier als

Das kontrollieren wir, und schreiben die Tabelle






Die sechste Zahl müsste aber 32 sein. Es ist also 1 zu wenig. Die Abweichung wird immer grösser, denn

und das hätte 64 sein sollen. Das liegt schon 7 daneben.

 


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