Maeckes logo

<    1    >


Extrapolatie

Als we de rij 1, 2, 4, 8, 16, ... zien vermoeden we dat het volgende getal 32 wordt, want het gaat hier blijkbaar om machten van 2.

Maar hoe zeker is dat eigenlijk?

 


Uitleg

De formule is blijkbaar

en de bijbehorende tabel toont dan

n f(n)
1 1
2 2
3 4
4 8
5 16
6 32

Er bestaan andere mogelijkheden om de oorspronkelijke rij uit te breiden. Zo kan b.v. het getal 31 ook correct zijn. Dan hebben we wel een andere formule nodig. Daarvoor gebruiken we hier

en vullen voor x opeenvolgend de waardes 1, 2, 3, 4, 5 en 6 in. De tabel wordt dan

x f(x)
1 1
2 2
3 4
4 8
5 16
6 31

Dat is grappig. Dat lijkt wel hocus pocus. Zo'n formule kun je toch niet zomaar verzinnen. Wat zit daar nu achter, en waar komt die formule vandaan?

 


Berekening

Uit de hoofdstelling van de wiskunde volgt, dat je een kromme die door 5 punten gaat kunt beschrijven met een vierdegraadsfunctie. Daarom beginnen we met

en nemen voor x opvolgend de waardes 1, 2, 3, 4 en 5. Dan krijg je

a b c d e f(x)
1 1 1 1 1 1
16 8 4 2 1 2
81 27 9 3 1 4
256 64 16 4 1 8
625 125 25 5 1 16

Hierin elimineren we e, en krijgen

a b c d f(x)
15 7 3 1 1
80 26 8 2 3
255 63 15 3 7
624 124 24 4 15

Nu elimineren we d, en krijgen

a b c f(x)
50 12 2 1
210 42 6 4
564 96 12 11

Daarna elimineren we c, en krijgen

a b f(x)
60 6 1
264 24 5

Tenslotte elimineren we b, en krijgen

a f(x)
24 1

Dat betekent

en vullen dat in

Als volgende vinden we

Dan komt

En tenslotte

De formule wordt dan

en dat schrijven we hier als

Dat controleren we, en berekenen de tabel






Het zesde getal moet echter 32 worden. Het is dus 1 te weinig. De afwijking neemt steeds verder toe, want

en dat had 64 moeten zijn. Dat zit er al 7 naast.

 


Deutsch   English   Español   Français