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Eulerformel

Die Eulerformel zeigt den Zusammenhang zwischen der Exponentialfunktion und trigonometrische Funktionen

 


Erläuterung

Substition von x = ix in die Reihe für die Exponentialfunktion ergibt

Hierin vereinfachen wir die Potenzen der imaginären Einheit

In Klammern stehen die Reihen für den Kosinus und den Sinus. Das kann man so schreiben, denn beide Reihen sind absolut konvergent, sodass

Substition von x = −ix in die Reihe für die Exponentialfunktion ergibt

sodass

 


Weitere Berechnungen

Diese beiden Gleichungen addieren wir

und ziehen die auch ab

Das sind der Sinus und der Kosinus ausgedrückt in komplexe exponentielle Funktionen.

 


Zusätzliche Informationen

Der schweizer Mathematiker Leonhard Euler beschrieb diese Formel 1748.

 


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