< 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 >
Fourier's formule voor pi
De wiskundige Joseph Fourier ontwikkelde voor π = 3,1415… de formule
Uitleg
We beginnen met de sinc-functie en schrijven de reeks
De nulpunten van deze functie zijn gehele veelvouden van π, dus de punten x = n · π voor n = ±1, ±2, ±3, ... . De factorisatiestelling van Weierstraß levert hiervoor
wat je kunt omrekenen naar
en dus ook naar
Nu gaan we de identiteiten van Newton toepassen. We werken daarbij alleen met de coëfficiënten van x2 en berekenen
In de oorspronkelijke reeks zien we dat de coëfficiënt van x2 daar gelijk is aan
en dus geldt
zodat
Extra informatie
De eerste berekening werd in 1735 gegeven door Leonhard Euler, en staat sindsdien bekend onder de naam Bazel-probleem. De reeks is de zeta-functie