Maeckes logo

<    1      2    >


Relations entre coefficients et racines

Les relations de Viète permettent d'exprimer les coefficients d'un polynôme dans les sommes et les produits de ses racines.

 


Explication

Un polynôme du degré n

P(x) = anxn  + an−1xn−1  + ··· + a2x2 + a1x + a0 = (x − x1)(x − x2) ··· (x − xn)

avec des coefficients réels ou complexes, dans lequel an ≠ 0, a selon le théorème fondamental de l'algèbre n zéros x1, x2, ... , xn. Les formules sont obtenues en calculant

     pour    j = 1, 2, ... , n

 


Exemple 1

Pour un polynôme du premier degré

x + p

ça donne

x1 = −p

 


Exemple 2

Pour un polynôme du second degré

x2 + px + q

ça donne

x1 + x2 = −p
x1x2 = q

 


Exemple 3

Pour un polynôme du troisième degré

x3 + px2 + qx + r

ça donne

x1 + x2 + x3 = −p
x1x2 + x1x3  + x2x3 = q
x1x2x3 = r

 


Exemple 4

Pour un polynôme du quatrième degré

x4 +px3 + qx2 + rx + s

ça donne

x1 + x2 + x3 + x4 = −p
x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 = q
x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4 = r
x1x2x3x4 = s

 


Information additionelle

Les formules ont été développées par le mathématicien français Albert Girard.

 


Deutsch   English   Español   Nederlands