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Gamma-Funktion

Die Gamma-Funktion, angegeben mit dem griechischen Großbuchstaben Γ ist eine Erweiterung der Fakultätsfunktion auf komplexen Zahlen und ist definiert als

 


Erläuterung

Dieses unechte Integral hat die wichtige Eigenschaft, dass Г( p) = ( p – 1) ! ist, worin p eine ganze Zahl größer oder gleich 1 ist.

     

Eigentlich ist die Fakultätsfunktion ein spezieller Fall von der Gamma-Funktion, da

für alle natürlichen Zahlen n.

 


Eigenschaften

1. Für p = 1

    

2. Substitution von t = x2   ⇒   dt = 2x dx ergibt

    

   dann, für  bekommt man

    

 


Beispiel 1

Die Fakultät der transzendenten Zahl π kann man berechnen als




 


Beispiel 2

Die Fakultät der transzendenten Zahl e kann man berechnen als



 


Beispiel 3

Die Fakultät der imaginären Einheit i kann man berechnen als

i! = Γ(1 + i) ≈ 0,4980 − 0,1549i

 


Beispiel 4

Die Gamma-Funktion wird in der Reihe für den inversen Kosinus verwendet

 


Zusätzliche Informationen

Die Gamma-Funktion wurde 1729 vom schweizer Mathematiker Leonhard Euler beschrieben.

 


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