Maeckes logo

<    1      2      3      4      5      6      7      8      9     10     11     12     13    >


Getal e

Het getal e = 2,7182… is de som van omgekeerde faculteiten

 


Uitleg

Alleen voor de functie f (x) = ex geldt

en voor x = 0 heeft deze de waarde 1. Kunnen we op basis van deze gegevens een oneindige reeks hiervoor ontwikkelen? Laten we het eens proberen. Bij differentiëren neemt een macht met 1 af. We beginnen met de reeks

en krijgen

Dat klopt niet. De reeks begint nu met een 1 (die hadden we even vergeten) en de exponenten moeten nog afgevangen worden. Een tweede poging dus

en nu zien we

Ook dat klopt nog niet, want de breuken zijn allemaal verdwenen. We moeten iets verzinnen om die te behouden. Een derde poging met

en zie daar

Het schijnt te kloppen. En dat is eigenlijk ook wel logisch. Maar we controleren het door nog een keer te differentiëren

Dat gaat goed, en ook voor x = 0 blijft de waarde steeds 1. Je kunt dit met faculteiten schrijven als

We stellen daarom vast

Dan kunnen we het getal e berekenen, want voor x = 1 ontstaat

Daarin geven de opvolgende termen

1/0! = 1,0000
1/1! = 1,0000
1/2! = 0,5000
1/3! = 0,1667
1/4! = 0,0417
1/5! = 0,0083
1/6! = 0,0014
          -------
  e   = 2,718…

Het antwoord is tot 3 plaatsen nauwkeurig.