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括号

你可以在数学运算中使用括号。通常这只是为了增加可读性。有时为了在计算中强制执行一个顺序,它们是必要的。你可能永远不会先用括号计算一些东西。

使用括号表示什么东西属于一起。是否真的需要它们并不那么重要。明确性必须是第一位的。

 


例1

计算中 4 × 7 = 28 的可以写为

4 (7) = 28

因为括号是一种隐性的乘法

 


例2

在计算中

sin (a + b)

一切都很清楚。如果你不写括号,就会变得非常不同,因为

sin a + b = sin (a) + b

这就是为什么你经常看到

sin (x)

在使用方括号的地方,虽然

sin x

当然是足够的。

 


例3

在计算中,正弦

sin (x) · a = a · sin x

所有的一切都真的很清楚。如果你不用括号

sin x · a = a · sin x

大家已经不清楚其意图是什么。所以

sin (x · a)

殊途同归

sin x · (a) = (sin x) · (a) = a · sin x

不是错,而是不必要的棘手。

 


例4

功率函数的对数为

log (an ) = n · log a

如果你没有括号

log an = n · log a

大家都不清楚其用意何在。非常混乱的是

log (a)n =  (log a)n

因为括号是不必要的。

 


例5

在计算中

你必须先进行指数化,然后才取平方根。因此

        

是完全错误的。小括号必须从内到外解决,所以说

 


例6

当计算导数时,你可以使用不同的格式,如

如果 yx 的函数,我们必须在 (x · y) 上应用乘积规则,括号中说明了这一点。所以你会得到

 


例7

要写一个平方根,你可以使用不同的格式,如

根号的实线与括号的使用意义相同。

 


例8

在以负数基数幂函数中,这个数字必须放在括号里。在计算中

(−2)4 = 16

在计算中,方括号表示你的工作是负数 −2 的幂。在计算中

−24 = − (+2)4 = −16

你可以用正数 +2 的幂来计算

(−2)3 = −8 = −23

 


例9

二项式中,你必须计算出平方为

(a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + 2ab + b2

因为

        

 


例10

有时括号会造成混乱,如在下面的计算中,一切似乎都很清晰了

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) +  ··· = 0        

但以下也是可以解释的

1 − (1 − 1) − (1 − 1) − (1 − 1) −  ··· = 1        

如果我们在这两个计算中省去括号,就会出现以下情况

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 +  ··· = ?

然后我们就不知道答案了。

 


其他信息

意大利数学家 Rafael Bombelli (1526 - 1572) 引入了圆括号。

 


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