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Klammern

In mathematischen Berechnungen kann man Klammern benutzten, um die lesbarkeit zu verbessern. Manchmal sind sie aber unbedingt erforderlich um eine bestimmte Reihenfolge in einer Berechnung zu erzwingen. Etwas in Klammern darf man jedoch nicht ohne weiteres zuerst ausrechnen.

Wenn etwas in Klammern geschrieben wird zeigt dies was zusammen gehört. Ob die Klammer auch wirklich notwendig sind ist dabei nicht die Hauptsache. Deutlichkeit ist oberstes Ziel.

 


Beispiel 1

Die Berechnung 4 × 7 = 28 kann man auch schreiben als

4 (7) = 28

da eine Klammer eine implizite Multiplikation bedeutet.

 


Beispiel 2

Bei der Berechnung

sin (a + b)

ist alles klar. Ohne Klammern steht da etwas anderes

sin a + b = sin (a) + b

Deswegen schreibt man öfters

sin (x)

wo Klammer benutzt werden, obschon

sin x

natürlich auch ausreicht.

 


Beispiel 3

In der Berechnung

sin (x) · a = a · sinx

ist eigentlich alles klar. Ohne Klammer

sin x · a = a · sinx

ist nicht sofort deutlich was gemeint wird. So bedeutet

sin (x · a)

etwas ganz anderes, und die Schreibweise

sin x · (a) = (sin x) · (a) = a · sin x

ist zwar korrekt, aber unnötig kompliziert.

 


Beispiel 4

Für den Logarithmus der Potenzfunktion gilt

log (an ) = n · log a

Ohne Klammer bekommt man

log an = (log a)n

Sehr verwirrend ist

log (a)n =  (log a)n

 


Beispiel 5

Bei der Berechnung von

musst du zuerst Potenzieren, und danach Wurzelziehen. Darum ist

        

denn auch ganz falsch. Die Klammern müssen von innen nach aussen aufgelöst werden, also

 


Beispiel 6

Bei der Berechnung von Ableitungen kann man verschiedene Schreibweisen benutzen, wie

Wenn y eine Funktion von x ist muß man auf (x · y) die Produktregel anwenden, und die Klammern verdeutlichen dies. Schließlich bekommt man

 


Beispiel 7

Um eine Wurzel zu schreiben kann man unterschiedliche Schreibweisen verwenden, wie

Der durchgezogene Strich vom Wurzelzeichen hat die gleiche Bedeutung wie die Benutzung von Klammern.

 


Beispiel 8

In einer Potenzfunktion mit einer negativen Zahl als Basis, muss diese Zahl in Klammern geschrieben werden. Bei der Berechnung

(−2)4 = 16

bedeuten die Klammern, dass man mit Potenzen der negativen Zahl −2 arbeitet. Bei der Berechnung

−24 = − (+2)4 = −16

arbeitet man mit der positiven Zahl +2. Bei ungeraden Potenzen bekommt man

(−2)3 = −8 = −23

 


Beispiel 9

Bei der binomischen Formel muss man das Quadrat ausrechnen als

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2

denn

        

 


Beispiel 10

Manchmal verwirren Klammern, wie in der folgenden Berechnung wo alles klar scheint

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) +  ··· = 0        

aber Folgendes ist auch erklärbar

1 − (1 − 1) − (1 − 1) − (1 − 1) −  ··· = 1        

Wenn wir in beiden Berechnungen die Klammern weglassen heiss es

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 +  ··· = ?

und dann wissen wir die Antwort nicht mehr.

 


Zusätzliche Informationen

Der italiänische Mathematiker Rafael Bombelli hat runde Klammern eingeführt.

 


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