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Implizite Ableitung

Wenn es nicht möglich ist y explizit als Funktion von x auszudrucken, muss man die implizite Ableitung benutzen. Man schreibt es mit dem differentialoperator als

wobei das Symbol bedeutet »nehme die Ableitung von …«.

 


Erläuterung

Die Kettenregel wird dabei oft benutzt in der Form

um die Ableitungen der Terme mit y zu bestimmen. Manchmal ist es auch einfach bequemer oder eleganter die Ableitung einer Gleichung implizit zu bestimmen.

 


Beispiel 1

Die Gleichung f (x) = xx kann nicht ohne weiteres nach x abgeleitet werden, denn sowohl der Exponent als auch der Basis sind variabel. Den Exponent eliminieren wir indem wir zuerst der Logarithmus nehmen

                                                                    

was wir umrechnen nach

Nun leiten wir beide Seiten implizit nach x ab

Die linke Seite kann mit der Kettenregel berechnet werden

Mit der Ableitung des Logarithmus und der Produktregel erhält man

Multiplizieren mit y ergibt

Setze wieder y = xx ein, dann ist die Lösung

 


Beispiel 2

Der Kreis mit Radius r ist gegeben durch die Gleichung x2 + y2 = r2. Durch implizit Ableiten erhält man

Daraus folgt, dass die Tangente an den Kreis im Punkt (x, y) die Steigung hat.

 


Beispiel 3

Impliziete Ableitung der Funktion x y – 3x – 2y + 5 = 0

sodass

 


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