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Derivación implícita

Si la relación entre x e y vienne dada por una función no depejada para y, se dice que y es una función implicita de x.

Suele ocurrir que no intersa, o no es possible, depejar y para obtenarla como función explícita de x. En este caso, se deriva término, considerando y como función de x. Lo escribes con el operador diferencial como

donde este símbolo significa "tomar la derivada de...".

 


Explicación

La regla de la cadena se utiliza extensivamente en la forma

para determinar las derivadas de los términos con y en él. A veces es simplemente más fácil distinguir una función implícita que explícita.

 


Ejemplo 1

La ecuación f (x) = xx no puede fácilmente se deriva después de x, ya que la base y el exponente son variable. Primero eliminamos el exponente, para tomar el logaritmo

que convertimos a

Ahora derivamos implícitamente ambos lados después de x

El lado izquierdo se puede calcular usando la regla de la cadena

La derivada del logaritmo y la regla de producto da

Multiplicando por y da

Y fijar otra vez y = xx, entonces la solución es

 


Ejemplo 2

El círculo con el radio r está dada por la ecuación x2 + y2 = r2. Obtenidos por implícitamente derivar

Se deduce que la tangente al círculo en el punto (x, y) tiene la pendiente .

 


Ejemplo 3

La función x y – 3x – 2y + 5 = 0 derivando implícamente

Entonces

 


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