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Dérivées implicites

Quand il n'est pas possible d'exprimer y explicitement comme une fonction de x, il faut différencier implicitement. Vous l'écrivez avec l'opérateur différentiel comme

où ce symbole est l'abréviation de « prenez la dérivée de... ».

 


Explication

La règle de la chaîne est souvent utilisée dans la forme

pour déterminer les dérivés des termes avec y dedans. Parfois il est simplement plus facile de différencier une fonction implicite, plutôt qu'explicite.

 


Exemple 1

L'équation f (x) = xx ne peut être facilement dérivée de x, car l'exposant et la base sont tous deux variables. Nous éliminons l'exposant en prenant d'abord le logarithme

ce que nous convertissons en

Maintenant, nous déduisons implicitement les deux côtés à x

Le côté gauche peut être calculé avec la règle de la chaîne

Avec la dérivation du logarithme et la règle de produit, vous obtenez

Multipliez par y donne

Mettez à nouveau y = xx, alors la solution est

 


Exemple 2

Le cercle avec rayon r est donné par l'équation x2 + y2 = r2. Par dérivation implicite, on obtient

Il s'ensuit que la tangente au cercle dans le point (x, y) a la pente .

 


Exemple 3

Dérivation implicite de la fonction x y – 3x – 2y + 5 = 0

alors

 


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