Maeckes logo

<    1      2      3      4    >


Impliciet differentiëren

Wanneer het in een vergelijking niet mogelijk is om y expliciet uit te drukken als functie van x, dan moet je impliciet differentiëren. Je schrijft het met de differentiaaloperator als

waarbij dit symbool staat voor "neem de afgeleide van …".

 


Uitleg

De kettingregel wordt daarbij veelvuldig gebruikt in de vorm

om de afgeleiden van de termen met y erin te bepalen. Soms is het ook gewoon eenvoudiger om een functie impliciet te differentiëren, in plaats van expliciet.

 


Voorbeeld 1

De vergelijking f (x) = xx kan niet gemakkelijk naar x worden afgeleid, omdat zowel de basis als de exponent variabel zijn. Door eerst de logaritme te nemen, elimineren wij de exponent

wat we omzetten in

Nu kunnen we beide leden impliciet naar x afleiden

Het linkerlid kun je met de kettingregel berekenen

De afgeleide van de logaritme en de productregel geven

Vermenigvuldigen met y geeft

Substitueer y = xx, dan is de oplossing

 


Voorbeeld 2

De cirkel met straal r wordt gegeven door de vergelijking x2 + y2 = r2. Door impliciet afleiden krijg je

Hieruit volgt dat de raaklijn aan de cirkel in het punt (x, y) de helling heeft.

 


Voorbeeld 3

Impliciet differentiëren van de functie x y – 3x – 2y + 5 = 0 geeft

zodat

 


Deutsch   English   Español   Français