Maeckes logo

<    1      2    >


Inleiding

Wiskunde is een heel flexibele taal. Er zijn veel manieren om dezelfde berekening uit te drukken. Neem als voorbeeld de eenvoudige deling

Dit kun je ook schrijven als

of als

Daar zit nog niet veel zoveel verschil in. Een kniesoor die er op let hoe scheef de breukstreep staat. Maar een boekhouder schrijft liever

en dat ziet er al weer anders uit. In de basisschool heb je geleerd hoe je een deling kunt oplossen

Dat was de staartdeling. Je ziet, er zijn veel mogelijkheden om hetzelfde uit te drukken. Zo is het eigenlijk altijd in de wiskunde. En ook hier geldt: Vele wegen leiden naar Rome. Op de middelbare school heb je nog een andere methode geleerd

Rekenen doen we tegenwoordig met 10 cijfers, de zo genaamde Arabische cijfers. Ze zijn trouwens in India uitgevonden. What is in a name? Als je getallen optelt moet je van rechts naar links werken, terwijl wij altijd van links naar rechts schrijven. Getallen worden daarom ook rechts uitgelijnd, dat komt wel van de Arabieren, maar dat is je misschien nog nooit opgevallen. De notatie is

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Hier begin je met 0. Daarvan heb je geleerd dat dit een apart getal is. Je moet er mee oppassen. Want er wordt gezegd “Delen door nul is onbenul“. Vroeger werden Romeinse cijfers gebruikt. Je ziet ze nog wel eens als decoratie op gebouwen staan. De notatie is

Hierin komt het cijfer 0 niet voor. Nul is immers niets. Er is eeuwen lang discussie over geweest of 0 nu wel of niet een getal is. Hier krijg je zelf ook nog mee te maken. Want waarom is nou

100 = 1

Het antwoord is

Dat is zo voor elk getal, maar wat is dan

          

Delen door nul mag niet. Vermenigvuldigen met 0 mag wel, want het was toch zo dat

02 = 0
01 = 0
00 = ?

Voor dit soort problemen gebruik je in de wiskunde vaak een werkbare oplossing. Je zegt dan dat iets per definitie bepaald is. En zo geldt 00 = 1.

Het blijkt dat berekeningen meestal een correct resultaat geven als je voor 00 = 1 neemt, maar het blijft opletten geblazen, en soms moet je de berekening zorgvuldig controleren, want het zou in jouw geval net wel eens niet kunnen kloppen. Die Ausnahme bestätigt die Regel.

Cijfers zijn een uitvinding van mensen. De natuur werkt anders. Er is ook het begrip oneindig. Dit schrijf je in de wiskunde als . Maar let op: Oneindig is geen getal. Je kunt er wel mee rekenen, en soms met verrassende resultaten

∞ + ∞ = ∞

of zelfs

0 × ∞ = ?

Als je vermenigvuldigt met 0 blijft het dus niet altijd 0. Dat zal je nu misschien wel niet meer zo verbazen. Het kan nog erger. Er bestaan getallen die je niet exact kunt opschrijven. Het meest bekende is pi, dat wordt geschreven met de Griekse letter π. Je kent het uit de formules van een cirkel

omtrek = 2πr
oppervlak = πr2

Het was de oude Grieken al opgevallen dat er een getal bestond die de verhouding tussen de omtrek van een cirkel en de doorsnede D aangeeft

    π =   omtrek 
     D 

en die ook de verhouding tussen het oppervlak en de straal r is

    π =   oppervlak 
       r2 

De waarde is

π = 3,1415…

Er zijn al een triljoen cijfers achter de komma uitgerekend, en er ontstaat nooit een patroon dat zich herhaalt. Wiskundigen hebben aangetoond dat dit ook niet gebeurt, en noemen het een transcendent getal.

Een ander transcendent getal is e, het grondtal van de natuurlijke logaritme. Dit heb je nodig als je wilt berekenen hoe bacteriën zich vermenigvuldigen, of als je wilt weten hoe radioactieve straling afneemt. De waarde is

e = 2,7182…

Op deze site leer je hoe het getal ontdekt is en hoe je er mee kunt rekenen. Er is trouwens door wiskundigen aangetoond dat er oneindig veel transcendente getallen bestaan, maar niemand kent ze, en we hebben ook nog geen idee waar we ze voor nodig zouden hebben. Dat is hogere wiskunde. Dan liever terug naar iets eenvoudigers. Als je de oneindige reeks

optelt kun je daar altijd verder mee door gaan. Maar het gaat ook sneller. Let maar eens op. Je kunt iets verdubbelen, en het er meteen weer van af trekken. Dan krijg je de oorspronkelijke waarde terug, want

2 × 3 − 3 = 3

of

2 appels  − 1 appel = 1 appel

Zo doe je het ook met de reeks, dus

uitrekenen geeft dan

en dit is

Het is exact 1, en niet iets mystieks als "In het oneindige nadert het 1". Er is nu eenmaal een groot verschil tussen theoretisch oneindig en fysiek oneindig. En nog even naar het oneindig kleine. Dit schrijf je in de wiskunde meestal als Δx→0 en betekent: Het nadert naar 0, maar is dus niet 0, en je mag er daarom door delen. Soms moet je zelfs nog verschil maken tussen

Δx→0+  en  Δx→0

Als je denkt dat dit verwarrend is kijk dan ook nog eens naar het volgende

Dat is duidelijk. Maar het volgende is ook verklaarbaar

Laten we in beide berekeningen de haakjes weg dan staat er

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ··· = ?

en dan weten we het antwoord ineens niet meer. Wat klopt er hier nu niet? Wiskundigen hebben een hekel aan berekeningen waar dit verschijnsel optreedt. Heb je er lol in gekregen? Wil je meer weten over niets, oneindig of meer dan oneindig? Lees dan verder.

Je moet soms wat hocus pocus toepassen bij het rekenen. En waar heb je wiskunde nu eigenlijk voor nodig? Wel, dat mag je zelf invullen. In de meeste beroepen kun je later ook zonder wiskunde uitkomen. Maar het is misschien wel leuk om te weten wat er zo al mogelijk is – of juist niet.

De toekomst kun je er in ieder geval niet mee voorspellen.

 


العربية   Deutsch   English   Español   Français   中文