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Kettenbruch

Die Formel von Euler für Kettenbrücheformule ist eine Identität

 


Erläuterung

Mit einer Terme kann man einen Bruch entwickeln

aber das ist noch kein Kettenbruch. Mit zwei Terme funktioniert es, denn

und man kann das schreiben als

Mit drei Terme sieht man zum ersten Mal, dass eine Iteration entsteht

Für einen Moment betrachten wir  getrennt und schreiben den Kettenbruch vorläufig als

Darin teilen wir den Zähler und Nenner im jeweiligen Bruch durch 1 + c und erhalten

Im Nenner des gleichen Bruchs addieren wir 1 dazu und ziehen es sofort wieder davon ab

so

Der Klarheit halber fahren wir mit vier Terme fort und sehen die Iteration

Hier betrachten wir c (1 + d) separat und schreiben den Kettenbruch zuerst als

Wir teilen jetzt durch 1 + d und erhalten

Dieses Schema wiederholt sich immer wieder.

 


Zusätzliche Iformationen

In dem Buch "Opera Mathematica" (1695) führte John Wallis den Begriff "Kettenbruch" ein.

 


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