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Fraction continue

La formule d'Euler pour des fractions continues est une identité

 


Explication

Avec une seul terme, vous pouvez développer une fraction

mais ce n'est pas encore une fraction continue. Avec deux termes, ça marche, parce que

et vous pouvez l'écrire comme

Avec trois termes, vous voyez survenir pour la première fois une itération

Pour le moment, nous considérons  séparément, et écrivons provisoirement la fraction continue comme

On y divise le numérateur et le dénominateur dans la fraction respective par 1 + c et on obtient

Dans le dénominateur de cette même fraction, on y ajoute 1 et on le soustrait immédiatement

donc

Par souci de clarté, nous continuons avec quatre termes et voyons l'itération

Ici nous considérons c (1 + d) séparément, et écrivons d'abord la fraction continue comme

Nous divisons maintenant par 1 + d et obtenons

Cet horaire se répète encore et encore.

 


Information additionelle

Dans le livre "Opera Mathematica" (1695), John Wallis introduit le terme "fraction continue".

 


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