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Kettenregel

Mit der Kettenregel kann man die Ableitung zusammengesetzter Funktionen auf Ableitungen einfacherer Funktionen zurückführen. Die Kettenregel lautet

 


Erläuterung

Wir nehmen die zusammengestellte Funktion

f (x) = y = v (u (x))

Dann gilt

Das ist klar, denn es sind nur unterschiedliche Schreibweisen. Aber jetzt machen wir einen extra Schritt

Das kann man allerdings nicht so ohne weiteres machen. Wenn Δx nach Null geht, darf Δu nicht Null werden, denn sonnst entsteht ein Bruch wo der Nenner 0 ist, und das ist undefiniert. Das werden wir gleich nachprüfen. Für den Grenzwert eines Produktes gilt

Da Δx sich Null nähert wird auch Δu sich Null nähern oder sogar Null werden. Beim ersten Grenzwert substituieren wir den x durch einen u, und bekommen

Um auch die Möglichkeit Δu zu beherrschen notieren wir

So stellen wir fest das allgemein gelten muss

Du kannst wohl raten wie das weiter geht.

 


Beispiel 1

Wir nehmen die zusammengestellte Funktion

und substituieren u = x2 + 3 somit entsteht

Bei Anwendung der Kettenregel ergibt die Ableitung

und schließlich

Wenn wir die Funktion erst auflösen erhalten wir

Natürlich finden wir die gleiche Antwort.

 


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