Maeckes logo

<    1    >


Lambert W functie

De Lambert W functie is een collectie functies, die de inversen vormen van de functie f (z) = e z. Hierin is e z de complexe exponentiële functie en z is een complex getal. Voor ieder complex getal z geldt daarbij

z = W (z) eW (z)

 


Uitleg

De Lambert W functie kan niet uitgedrukt worden in termen van elementaire functies. Hij kan gebruikt worden om vergelijkingen op te lossen waarin exponenten voorkomen (bv. de maxima van de Planck, Bose-Einstein, en Fermi-Dirac verdelingen) en komt ook voor bij het oplossen van afgeleiden, zoals y' (t) = a y (t − 1).

Grafiek van W0(x) voor −1/ex ≤ 4.

Omdat de functie f niet injectief is, is de relatie W meerwaardig (behalve bij 0). Als we ons beperken tot reële waarden van W dan is de functie alleen gedefinieerd voor ≥ −1/e , en heeft twee waarden in het interval (−1/e, 0). Voor ≥ −1 is het de enkelwaardige functie W0(x). We hebben W0(0) = 0 en W0( −1/e) =  −1. De lagere tak geldt voor W ≤ −1 en wordt aangeduid met W−1(x). Deze neemt steeds verder af van W−1(−1/e) = −1 tot W−1(0) = −∞.

De hoofdtak van de Lambert W functie is het complexe vlak. Let op de breuk langs de negatieve reële as, die eindigt op −1/e. In deze grafiek wordt de intensiteit van een punt z bepaald door het argument van W (z) en de helderheid door de absolute waarde van W (z).

 


Afgeleide

Met impliciet differentiëren kun je aantonen dat alle takken van W voldoen aan de vergelijking

W is niet differentieerbaar bij z = −1/e. Als gevolg krijg je voor de afgeleide van W

Verder hebben we

 


Omgekeerde afgeleide

De functie W (x) en veel andere uitdrukkingen met W (x) kun je integreren door substitutie van w = W (x) of x = w eW

 


Taylorreeks

De Taylorreeks van W0 rond 0 kan berekend worden met de inverse Lagrange theorema en is

De straal van convergentie is −1/e, wat je kunt vaststellen in de ratio test. De functie die door deze reeks bepaald is, kan uitgebreid worden tot een holomorfe functie die gedefinieerd is voor alle complexe getallen met een vertakkingspunt langs het interval (−∞, −1/e]. Deze holomorfe functie is de hoofdtak van de Lambert W functie.

 


Gehele en complexe machten

Met machten van gehele getallen voor W0 kun je een eenvoudige Taylorreeks (of Laurentreeks) ontwikkeling rond 0 zoals

Meer algemeen, voor r ∈ ℤ, geeft de inverse Lagrange formule

en dit is, in het algemeen, een Laurentreeks van de orde r. Op dezelfde manier kun je deze laatste schrijven in de vorm van een Taylor ontwikkeling met de macht

voor elke r ∈ ℂ en x | < −1/e.

 


Speciale waardes

 


Andere formules

 


Applicaties

Veel vergelijkingen met exponenten kunnen opgelost worden met de W functie. De algemene aanpak is om alle termen met de onbekende naar een kant van de vergelijking te brengen zodat het er uit ziet als Y = X  eX. Daarna levert de functie de waarde van de variabele X. Met andere woorden

Y = X eX        ⇔         x = W(Y)

 


Deutsch   English   Español   Français