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复数的对数

复数对数是一个多值函数

ln z = ln r + ( φ+ 2kπ) i

 


解释

你把一个极坐标的复数写成 z = r · e。如果我们设这个对数产生的复数 x + i y 是,那么你就会得到

哪儿

以致于

ln z = ln r + (φ + 2kπ) i

复数的对数有无限多个值,这些值的实部 ln r 都相同,虚部彼此相差 的倍数。

对于 k = 0,你可以得到原理支。

 


例1

负数是复数的一种特殊情况。因此 z = −1 是半径为 r = 1单位圆上的复数,半圆旋转 φ = π。对数 的 −1 的本金值为

ln (−1) = ln (1) + πi = πi

 


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