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Logaritmo de un número complejo

El logaritmo de un número complejo es la función polivalente

ln z = ln r + (φ + 2kπ) i

 


Explicación

En forma exponencial, un número complejo se escribe con z = r · e. Suponiendo que su logaritmo es el número complejo x + i y

Igualando

Por tanto

ln z = ln r + (φ + 2kπ) i.

De lo anterior se desprende que el logaritmo de un número complejo z = r · e tiene infinitos valores, todos ellos con parte real igual a ln r y partes imaginarias que difieren entre sí en múltiplos de .

Para k = 0, se obtiene el valor principal.

 


Ejemplo 1

Los números negativos son un caso especial de números complejos. Porque z = −1 es un número complejo en el círculo unitario con radio r = 1 y un semicírculo girado φ = π. El logaritmo de −1 tiene un valor principal de

ln (−1) = ln (1) + πi = πi

 


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