Maeckes logo

<    1      2      3    >


Logaritme van een negatief getal

De logaritme van een negatief getal is de meerwaardige functie

Hier wordt de natuurlijke logaritme geschreven als log.

 


Uitleg

Elk negatief getal is een complex getal. Met poolcoördinaten (r, θ) kun je negatieve getallen beschrijven, want deze liggen in het complexe vlak op de reële x-as, waar θ = 0, ±π, ±2π, ... is.

De definitie van de logaritme kun je uitbreiden naar negatieve en complexe argumenten. Een logaritme is de inverse van een exponentiële functie. Voor het complexe getal w geldt

ew = z met als inverse w = log z

Men spreekt van een logaritme omdat er bij z oneindig veel getallen w zijn die als logaritme optreden. Zij verschillen onderling een geheel veelvoud van i. Dit komt doordat e2nπ i = 1. Schrijven we z als

met absolute waarde r en argument φ, dan is elk van de getallen

een logaritme van z. De logaritme voor complexe getallen z is een meerwaardige functie

De waarde van de logaritme voor n = 0, heet de hoofdwaarde van de logaritme. Het argument van z in het interval [0, 2π) heet de hoofdwaarde. Als hoofdwaarde wordt ook wel het interval (−π, π] gekozen.

 


Voorbeeld 1

Negatieve getallen zijn een bijzonder geval van complexe getallen. Zo is z = −1 een complex getal op de eenheidscirkel met straal r = 1 en een halve cirkel gedraaid φp = π. De logaritme van −1 heeft daarom een hoofdwaarde van

log (−1) = log (1) + πi = πi.

 


Deutsch   English   Español   Français   中文