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Théorème d'Euclide

Le théorème d’Euclide affirme qu’il n’y a qu'aucun nombre premier plus grand.

 


Explication

S'il y a un nombre fini de nombres premiers, alors vous pouvez déterminer le produit P de tous les nombres premiers.

Maintenant vous pourriez demander : P + 1 est-il un nombre premier ?

La réponse est "non", parce que nous avons déjà utilisé tous les nombres premiers pour calculer P. Mais vous pouvez aussi répondre "oui", parce que vous pouvez diviser P par n'importe quel nombre premier, et pour P + 1 ce n'est certainement pas possible. Donc P + 1  lui-même doit être un nombre premier. Mais c'est complètement contradictoire avec le point de départ dans lequel il a été dit qu'il y aurait un nombre fini de nombres premiers.

Notre conclusion doit être qu'il y a infiniment beaucoup de nombres premiers, et qu'il n'y a donc pas le plus grand nombre premier.

 


Exemple 1

Supposons que 5 serait le nombre premier le plus élevé. Multiplication de tous les nombres premiers donne 2 × 3 × 5 = 30 et ensuite vous obtenez 30 + 1 = 31. Vous ne pouvez diviser ceci que par lui-même et c'est donc un nombre premier. Ce simple calcul montre qu'il n'y a pas de plus grand nombre premier.

 


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