Maeckes logo

<    1      2    >


Stelling van Euclides

De stelling van Euclides beweert dat er geen grootste priemgetal bestaat.

 


Uitleg

Als er een eindig aantal priemgetallen bestaat, dan kun je het product P van alle priemgetallen bepalen.

Nu kun je vragen: Is het getal P + 1 een priemgetal?

Het antwoord is "nee", want we hebben al alle priemgetallen voor de berekening van P gebruikt. Maar je kunt ook met "ja" antwoorden, want P kun je immers delen door ieder willekeurig priemgetal, en bij P + 1 is dat beslist niet mogelijk. Dan moet P + 1 dus zelf een priemgetal zijn. Maar dat is volkomen tegenstrijdig met het uitgangspunt waarin gesteld werd dat er een eindig aantal priemgetallen zou bestaan.

Onze conclusie moet zijn dat er oneindig veel priemgetallen bestaan, en er is dus geen grootste priemgetal.

 


Voorbeeld 1

Stel dat 5 het grootste priemgetal zou zijn. De vermenigvuldiging van alle priemgetallen levert 2 × 3 × 5 = 30 en dan krijg je 30 + 1 = 31. Dat kun je alleen door zichzelf delen en is dus een priemgetal. Aan deze eenvoudige berekening zie je al dat er geen grootste priemgetal kan bestaan.

 


Deutsch   English   Español   Français