Maeckes logo

<    1      2    >


Kwadratische functie

Een functie van de tweede graad schrijf je als

 


Uitleg

Een tweedegraadsfunctie kun je ontbinden in factoren om de nulpunten te vinden. Vaak kun je de oplossing door even nadenken vinden, want meestal geldt a = 1. Dat zie je duidelijk aan

Als de oplossing niet eenvoudig is kun je hiervoor een formule gebruiken. Die gaan we hier ontwikkelen, en beginnen met de algemene vorm

We halen a buiten haakjes

Voor de kwadraten gaan we naar een binomische formule toewerken

en schrijven deze uit

De term waar nu alleen nog een x in staat zonderen we af

Hier kun je twee oplossingen voor vinden

 

en

 

en

 

en

 


Alternatief

Als de waarde van b groot is kun je de formules als alternatief nog verder ontwikkelen en dan krijg je


en


Als je het zo ziet is het allemaal vrij eenvoudig. Nu kunnen we ook uitrekenen

en

Dat wisten we natuurlijk al lang. Hiermee kunnen we de x coördinaat van de top uitrekenen, want die ligt precies midden tussen x1 en x2.

 


Voorbeeld 1

Dit levert op (x − 3)(x + 5) = 0 maar dat hadden we ook uit het hoofd kunnen berekenen. De alternatieve formules leveren

Bovendien zien we dat

        of met de formule   

         of met de formule   

     hieruit volgt dat

Er zijn veel verschillende mogelijkheden om de coördinaten van de top te berekenen. Het hangt er van af hoe ver je al in de wiskunde gevorderd bent. Om het beeld compleet te maken volgt hier vast de uitleg.

In het voorbeeld y = x2 + 2x + 15 vind je de top door de laagste waarde van de functie te berekenen. Dat kun je doen door een kwadraat af te splitsen

Een kwadraat is altijd positief, en de laagste waarde is 0. Dat treedt op bij x = –1 en dan is y = –16. Dat zie je zo meteen voor je.

Het gaat ook met differentiëren. Daarmee kun je de mate van stijging van een continue functie bepalen. Dit is de tangens, die we hier ook wel de richtingscoëfficiënt (RC) noemen. Als die precies horizontaal is heb je de top gevonden. We nemen weer de functie

en bepalen de eerste afgeleide

De tangens heeft in de top de waarde 0, dus

Dit is veruit de eenvoudigste manier.

 


Deutsch   English   Español   Français