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Vernachlässigbar

In der Mathematik arbeitet man manchmal mit Terme die unendlich klein sind. Im Laufe einer Berechnung werden diese weggelassen, da sie vernachlässigbar sind. Wann das erlaubt ist werden wir hier untersuchen.

 


Kleine Übergänge

Beim Differenzieren mit Verwendung von Δx entstehen Übergänge von

     und von     

Für den Produkt f g gilt dann

Die Zunahme besteht aus drei Terme

Die Ableitung vom Produkt f g ergibt deswegen

Der letzte Term ist vernachlässigbar, denn

und das wird auf jeden Fall 0. Die Produkregel lautet darum

Wenn in einer Berechnung unendlich kleine Terme übrigbleiben darf man sie vernachlässigen.

 


Kleine Zunahmen

Beim Berechnen der Zahl e benutzen wir die Formel

und probieren die richtige Antwort zu bekommen. Wir fangen an mit einfachen Zahlen und rechnen







Das Ergebinis wird jedesmal etwas größer, obwohl die Bruchzahl immer weiter abnimmt. Zuletzt wird mit unendlich kleinen Termen gearbeitet, die hier jedoch nicht vernachlässigt werden dürfen.

 


Differentialen

Für den Differential eines Logarithmus gilt

Logarithmen subtrahieren liefert

Substitution in die Reihe für den Logarithmus ergibt

Da alle Differentialen zweiter Ordnung und höher vernachlässigbar sind darf man schreiben

Nach substitution erhält man dann

 


Die Zahl 1

Die Zahl 1 kann man mit unendlich vielen Dezimalen schreiben als

Die drei Punkte bedeuten, dass es unendlich viele Nachkommastellen gibt. Das kann man mit einem Bruch berechnen

Es wird gesagt, dass 0,999999… im Unendlichen 1 nähert. Das klingt beeindruckend, aber niemand kann sich vorstellen, was unendlich ist. Für unser Empfinden gibt es ein vernachlässigbarer Unterschied zwischen 0,999999... und 1. Das ist jedoch nicht richtig. Es sind nur zwei verschiedene Arten, in denen die gleiche Zahl geschrieben werden kann.

 


Grenzwerte

Im Prinzip kann eine unendlich kleiner Term in einer Berechnung vernachlässigt werden. Wenn es darin jedoch unendlich oft vorkommt darf das nicht. Das ist eine Art Faustregel. Wenn man mit 0 rechnet, muss man immer Acht geben, denn

und man darf

∞ × ∆x = ∞

auf gar keinen Fall vernachlässigen. In jeder Berechnung müssen die mathematische Regeln strickt angewendet werden. Deswegen werden in solche Fällen Grenzwerte benutzt, denn dann weiß man, dass mit Näherungen gearbeitet wird. Wo Verwirrung entstehen kann schreibt man darum

     oder     

An und für sich ist klar, wann man ein unendlich kleiner Term vernachlässigen darf.

 


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