Maeckes logo

<    1    >


Verwaarloosbaar

In de wiskunde werk je soms met termen die oneindig klein zijn. In de loop van een berekening worden deze weggelaten, omdat ze verwaarloosbaar zijn.

 


Kleine overgangen

Bij differentiëren met behulp van Δx ontstaan overgangen van

     en van     

Voor het product f g geldt dan

De toename bestaat uit de drie termen

Voor de afgeleide van het product f g krijgen we zo

De laatste term is verwaarloosbaar klein, want

en dat gaat hoe dan ook naar 0. De productregel luidt daarom

f g )' = f′ g + f g′

Als er bij een berekening oneindig kleine termen overblijven mag je die verwaarlozen.

 


Kleine toenamen

Bij het berekenen van het getal e gebruiken we de formule

en kijken hoe je aan de goede uitkomst kunt komen. We beginnen voorzichtig met gewone getallen te rekenen







en zien dat de uitkomst elke keer iets groter wordt, ofschoon de waarde van de breuk steeds verder af neemt. Uiteindelijk werk je met oneindig kleine termen, maar die mag je hier niet verwaarlozen.

 


Differentialen

Voor de differentiaal van de logaritme geldt

Logaritmen aftrekken levert

Substitutie hiervan in de reeks voor de logaritme geeft

Omdat alle differentialen van de tweede orde en hoger verwaarloosbaar zijn mag je schrijven

Na substitutie krijg je dan

 


Het getal 1

Het getal 1 kun je met een oneindig aantal decimalen schrijven als

De drie punten geven aan dat er oneindig veel cijfers achter de komma staan. Dat kun je met een breuk berekenen

Er wordt wel gezegd dat 0,999999…in het oneindige 1 benaderd. Dat klinkt indrukwekkend, maar niemand kan zich voorstellen wat oneindig is. Voor ons gevoel zit er een verwaarloosbaar verschil tussen 0,999999… en 1. Dat klopt echter niet. Het zijn gewoon twee verschillende manieren waarop hetzelfde getal geschreven kan worden.

 


Limieten

In principe mag een oneindig kleine waarde in een berekening verwaarloosd worden. Als die daarin echter oneindig vaak voor komt mag het niet. Dat is een soort vuistregel. We weten dat geldt

En dan mag je zeker

∞ × ∆x = ∞

niet verwaarlozen. In elke berekening moet je de wiskundige regels strikt toepassen. Je gebruikt daarom in deze gevallen limieten, want dan weet je dat er met benaderingen gewerkt wordt. Waar dat nodig is om verwarring te voorkomen schrijf je dan

    of    

Op zich is het duidelijk wanneer je een oneindig kleine waarde mag verwaarlozen.

 


Gereduceerde snelheid

In de speciale relativiteit is de gereduceerde snelheid β gedefinieerd als de verhouding van een snelheid tot de lichtsnelheid

In de klassieke natuurkunde heeft deze breuk een oneindig kleine waarde (β→0) en komt daarom in de betreffende formules niet voor.

 


Deutsch   English   Español   Français