< 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 >
Afgeleide van de exponentiële functie
De afgeleide van de natuurlijke exponentiële functie is
dus deze functie is zijn eigen afgeleide!
Uitleg
We beginnen met de exponentiële functie
Substitutie in de definitie van de afgeleide geeft
Herleiden levert dan
Voor x = 0 wordt het
Dit is een constante, want er zit geen x meer in. De waarde hangt alleen af van a, het grondtal. Je kunt daarom schrijven
Nu willen we graag weten voor welke waarde van a de functie f ′(0) = 1 is, want dan is f ′(x) = ax, en is de functie zijn eigen afgeleide. Daarom berekenen we
Vermenigvuldig met h
Verschuiven
Machtsverheffen geeft
Vereenvoudigen
Stel , en omdat h → 0 levert dat n → ∞, en dus is
Deze waarde noemen we het getal e - van exponent. Voor dat getal geldt dan
en de natuurlijke exponentiële functie is zijn eigen afgeleide!