< 1 >
Производная экспоненциальной функции
Производная натуральной экспоненциальной функции равна
Таким образом, эта функция является собственной производной!
Пояснение
Начнем с экспоненциальной функции
Подстановка в определение производной дает
Сокращение дает
Для x = 0 она становится
Это константа, так как в ней нет x. Значение зависит только от a - основание. Поэтому можно записать
Теперь мы хотим узнать, при каком значении a функция f ′(0) = 1, так как тогда f ′(x) = ax, а функция является собственной производной. Поэтому вычисляем
Умножить на h
Сдвиг
Возведение в степень дает
Упростить
Предположим, что l , а так как h → 0, то получается n → ∞, а значит
Назовем это значение числом e - экспонентой. Для этого числа тогда
и натуральная экспоненциальная функция является собственной производной!