Afgeleide van een hogere macht
De afgeleide van een hogere macht is
Uitleg
Substitutie van f (x) = xn in de definitie van de afgeleide geeft
Voor (x + Δx)n gebruiken we de binomium ontwikkeling, dan krijg je
We schrijven alleen de eerste twee termen van het binomium, want alle volgende termen bevatten hogere exponenten van Δx die verwaarloosbaar zijn, en deze vallen in de limiet weg. Daarom geldt
Deze formule geldt voor elke gehele, gebroken en negatieve exponent.
Voorbeeld 1
De eerste afgeleide van de functie f (x) = x4 − 6x3 + 12x2 − 8x + 1 is
f ′(x) = 4x3 − 18x2 + 24x − 8
De tweede afgeleide is
f ′′(x) = 12x2 − 36x + 24
De derde afgeleide is
f ′′′(x) = 24x − 36