Ableitung einer höheren Potenz
Die Potenzregel für die Ableitung einer Potenzfunktion ist
und wir werden dies hier mit vollständiger Induktion berechnen.
Erläuterung
Um die Formel nachzuvollziehen, schreiben wir die Ableitung der ersten Potenz als
und die Ableitung der zweiten Potenz als
Wir vermuten, dass allgemein gilt
Jetzt kommt der Schritt von n zu n + 1 und wir schreiben
Differenzieren gibt
Die Produktregel ergibt
Nach der Substitution erhalten Sie
Dieses Ergebnis erhält man auch, wenn man in der ursprünglichen Formel für die Ableitung einer höheren Potenz n durch n + 1 ersetzt. Damit ist die Formel
durch vollständige Induktion bewiesen.