Binomiaalcoëfficiënt
De coëfficiënten voor de opvolgende termen in de ontwikkeling van het binomium, met gebroken exponenten, kun je schrijven als
De bovenste breuk m/n is de exponent van het binomium, het onderste getal k is het lopende nummer van de term in de uitkomst.
Uitleg
We gaan de tabel voor de ontwikkeling van binomiaalcoëfficiënten uitbreiden met gebroken exponenten. Een getal ontstaat uit de som van het getal er juist onder en links daarvan. Je ziet het in de voorlaatste rij aan
Alle rijen hebben oneindig veel termen.
m/n 0 1 2 3 4 5 k → ∞ ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· 5/2 ··· 3/2 ··· 1/2 ··· 0/2 ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ··· −1/2 ··· −3/2 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
Voor gebroken exponenten hebben we de formule
GeschiedenisIn 1676 gaf de Engelse wiskundige Isaac Newton in een brief onderstaande informatie over zijn formule waarin A, B, C, … steeds de onmiddellijk voorgaande term aangeeft. Hiermee gaan we de kwadraatwortel berekenen van en krijgen Tegenwoordig wordt met Taylorreeksen gewerkt. De reeks voor de kwadraatwortel geeft natuurlijk exact dezelfde oplossing. |