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Binomialkoeffizient

Die Binomialkoeffizienten für die Terme in der Entwicklung des Binomiums mit negativen Exponenten, kann man schrieben als

Die obere Zahl n ist der Exponent aus dem Binomium, die untere Zahl k ist die laufende Nummer des Terms im Ergebnis.

 

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Erläuterung

Eine Zahl wird durch die Summe der Zahlen rechts und links von ihr gebildet. Sie können es an −120 = −330 + 210 sehen.

n		0	1	2	3	4	5	6	7	8	k → ∞
···		···	···	···	···	···	···	···	···	···	···
−5		1	−5	15	−35	70	−126	210	−330	495	···
−4		1	−4	10	−20	35	−56	84	−120	165	···
−3		1	−3	6	−10	15	−21	28	−36	45	···
−2		1	−2	3	−4	5	−6	7	−8	9	···
−1		1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	···
0		1	◦	◦	◦	◦	◦	◦	◦	◦	···
1		1	1	◦	◦	◦	◦	◦	◦	◦	···
2		1	2	1	◦	◦	◦	◦	◦	◦	···
3		1	3	3	1	◦	◦	◦	◦	◦	···
4		1	4	6	4	1	◦	◦	◦	◦	···
5		1	5	10	10	5	1	◦	◦	◦	···
6		1	6	15	20	15	6	1	◦	◦	···
7		1	7	21	35	35	21	7	1	◦	···
8		1	8	28	56	70	56	28	8	1	···
···		···	···	···	···	···	···	···	···	···	···

Es fällt sofort auf, dass für die negativen Exponenten jede Zeile unendlich viele Terme hat und abwechselnd positive und negative Koeffizienten auftreten und immer größer werden. Für negative Exponenten lautet die Formel

Sie können diese Formel nicht für positive Exponenten verwenden. Wir berechnen die Binomialkoeffizienten von (a + b)⁻⁴ und finden

 

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