Binomium van Newton
Het binomium van Newton (bi staat voor de 2 variabelen a en b) is de formule
(a + b)n = an + n an − 1b + ½ n (n − 1) an −2b2 + ···
waarin n een natuurlijk getal is.
Uitleg
We schrijven het binomium uit en zien
⁰ = 1.gif){kind=small}
¹ = a + b.gif){kind=small}
² = a² + 2ab + b².gif){kind=small}
³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.gif){kind=small}
⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.gif){kind=small}
⁵ = a⁵ + 5a⁴ b + 10a³ b² + 10a² b³ + 5a b⁴ + b⁵.gif){kind=small}
Daarin zit een duidelijke regelmaat. Elke term heeft de algemene vorm
Coëfficiënt × an−r br
waarin
n = Macht van het binomium
r = Nummer van de term
De ontwikkeling van de binomiaalcoëfficiënten gaat volgens de driehoek van Pascal.
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
Een getal ontstaat uit de som van het getal links en rechts er juist boven. In de rijen lopen de getallen op, en dan lopen ze weer net zo af. Daar zit natuurlijk een formule achter.
GeschiedenisDe naam is een eerbetoon aan de Engelse wiskundige Isaac Newton (1642 - 1727). |