Binomischer Lehrsatz
Der Binomische Lehrsatz kann man mit Kombinationen schreiben als
worin n eine natürliche Zahl ist.
Erläuterung
Wir schreiben das Binomium und sehen
⁰ = 1.gif){kind=small}
¹ = a + b.gif){kind=small}
² = a² + 2ab + b².gif){kind=small}
³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.gif){kind=small}
⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.gif){kind=small}
⁵ = a⁵ + 5a⁴ b + 10a³ b² + 10a² b³ + 5a b⁴ + b⁵.gif){kind=small}
⁶ = a⁶ + 6a⁵ b + 15a⁴ b² + 20a³ b³ + 15a² b⁴ + 6a b⁵ + b⁶.gif){kind=small}
Jeder Term kann man schreiben in der Form
Koeffizient × am bn
Die Entwicklung der Koeffizienten entspricht dem Dreieck von Pascal. Eine Zahl wird gebildet durch die Summe von der Zahl links und rechts darüber.
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
In den Reihen nehmen die Zahlen erst zu, und dann nehmen sie wieder ab. Genau das gibt es auch bei Kombinationen mit der Formel
Die obere Zahl n ist die Potenz vom Binomium, die untere Zahl k ist die laufende Nummer der Terme im Ergebnis. Wir schreiben deswegen
Die Summe vom Binomium lautet
Ausgeschrieben ergibt das
Die meist verwendet Form zeigt, dass das Binomium eine Reihe ist