Formule de Newton
Vous écrivez le binôme de Newton avec les combinaisons comme
où n est un entier naturel.
Explanation
Nous calculons les puissances différents
⁰ = 1.gif){kind=small}
¹ = a + b.gif){kind=small}
² = a² + 2ab + b².gif){kind=small}
³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.gif){kind=small}
⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.gif){kind=small}
⁵ = a⁵ + 5a⁴ b + 10a³ b² + 10a² b³ + 5a b⁴ + b⁵.gif){kind=small}
⁶ = a⁶ + 6a⁵ b + 15a⁴ b² + 20a³ b³ + 15a² b⁴ + 6a b⁵ + b⁶.gif){kind=small}
Chaque terme peut être écrit sous la forme
coefficient × am bn
Le développement des coefficients va selon le triangle de Pascal. Un nombre est la somme du nombre sur la gauche et la droite juste au-dessus.
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
Dans les lignes, les nombres augmentent au premier temps et diminuent en conséquence par la suite. C'est la même en ce qui concerne le calcul des combinaisons. Là, nous avons la formule
Le nombre supérieurer n est la puissance du binôme, le nombre k en bas est le nombre actuel du terme dans le résultat. Donc nous pouvons écrire
La somme du binôme est
La décomposition donne
Une forme fréquemment utilisée montre le binôme comme une série