Teorema del binomio
El binomio con exponentes negativos es la fracción
donde n es un número natural.
Explicación
Escribimos el binomio detalladamente
El desarrollo de los coeficientes binomiales para exponentes negativos es según el triángulo de Pascal. Un número es la suma del número a la izquierda y la derecha, justo por encima de él. Ves a −4 = −5 + 1 en la fila antes de último.
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 k → ∞ 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 7 1 7 21 35 35 21 7 1 ◦ 6 1 6 15 20 15 6 1 ◦ ◦ 5 1 5 10 10 5 1 ◦ ◦ ◦ 4 1 4 6 4 1 ◦ ◦ ◦ ◦ 3 1 3 3 1 ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ 2 1 2 1 ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ 1 1 1 ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ 0 1 ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 ··· −2 1 −2 3 −4 5 −6 7 −8 9 ··· −3 1 −3 6 −10 15 −21 28 −36 45 ··· −4 1 −4 10 −20 35 −56 84 −120 165 ··· −5 1 −5 15 −35 70 −126 210 −330 495 ···
Usted notará que para exponentes negativos cada fila tiene infinitamente muchos términos. Éstos tienen coeficientes alternativamente positivos y negativos que se hacen más grandes y más grandes. Para exponentes negativos la fórmula es
El número superior n es la potencia de la fórmula del binomio, el número fondo k es el número actual del término en el resultado. No puede usar esta fórmula para exponentes positivos. Ahora podemos escribir
Usted puede determinar por sí mismo que
Ejemplo 1
Para n = 4 la fórmula es
Con esta serie sólo podemos trabajar si a = 1, porque entonces tenemos
Si b ≤ 1 se crea una secuencia convergente